پروژه حل معادله شرودینگر با متلب

پروژه حل معادله شرودینگر با متلب به روش المان محدود

روش انتخابی : روش FDM با طرح کرنک نیکلسون

معادله شرودینگر، معادله ای است که چگونگی تغییر حالت کوانتومی یک سامانه فیزیکی با زمان را توصیف می کند. این معادله در اواخر سال ۱۹۲۵ فرمول بندی شد و در سال ۱۹۲۶ توسط فیزیکدان اتریشی اروین شرودینگر منتشر گردید.

در مکانیک کلاسیک، معادله حرکت، قانون دوم نیوتن است و فرمولبندی های معادل آن، معادله اویلر-لاگرانژ و معادله هامیلتون هستند. در همه این فرمول بندی ها، برای حل حرکت یک سیستم مکانیکی و پیشگویی ریاضی اینکه سامانه در هر زمان پس از شرایط و پیکربندی های اولیه چه حالتی خواهد داشت، استفاده می شوند. در مکانیک کوانتومی مشابه قانون دوم نیوتن، معادله شرودینگر برای یک سامانه کوانتومی (معمولاً اتم ها، مولکولها، ذرات ریز اتمی (آزاد، بسته، موضعی) ) است. این معادله یک معادله جبری ساده نیست ولی (عموماً) یک معادله دیفرانسیل جزئی خطی است. معادله دیفرانسیل شامل تابع موج برای سیستم است که حالت کوانتومی یا بردار حالت نیز نامیده می شود.

در تفسیر استاندارد از مکانیک کوانتومی، تابع موج کاملترین توضیحی است که می توان در مورد یک سامانه فیزیکی داد. راه حل های معادله شرودینگر نه تنها سامانه های مولکولی، اتمی و ریز اتمی را توصیف می کند بلکه سیستم های ماکروسکوپی، حتی کل جهان را نیز توصیف می کند. همانند قانون دوم نیوتن، معادله شرودینگر از لحاظ ریاضی می تواند به فرمولبندی های دیگر از جمله مکانیک ماتریسی ورنر هایزنبرگ و فرمولبندی انتگرال سطحی زیمان تبدیل شود. همچنین همانند قانون دوم نیوتون، معادله شرودینگر زمان را به طریقی توصیف می کند که برای نظریه های نسبیتی مناسب نیست. مشکلی که در مکانیک ماتریسی به اندازه کافی شدید نیست و در فرمولبندی انتگرال سطحی به طور کامل حضور ندارد.

معادله وابسته به زمان

شکل معادله شرودینگر به شرایط فیزیکی بستگی دارد (پایین را برای موارد خاص مشاهده کنید). عمومی ترین شکل آن معادله شرودینگری است که تحول زمانی سیستم را نشان میدهد:

که Ψ تابع موج سیستم کوانتومی، i واحد موهومی، ħ ثابت کاهیده پلانک و عملگر هامیلتونی است که انرژی کل به ازای هر تابع موج داده شده را مشخص می کند و شکل های مختلفی را بسته به شرایط، به خود می گیرد. معروفترین نمونه آن معادله غیر نسبیتی شرودینگر برای ذره ای که در میدان الکتریکی در حال حرکت است، می باشد .

که m جرم ذره، V انرژی پتانسیل آن ، ^۲∇ لاپلاسین و Ψتابع موج است (که با دقت بیشتر ، در این متن، تابع موج فضا مکان نامیده می شود). به عبارت دیگر این معادله می تواند اینگونه توصیف شود: “انرژی کل برابر است با انرژی جنبشی بعلاوه انرژی پتانسیل”، اما کلمات شکل نا مأنوسی به دلایلی که در زیر شرح داده شده اند به خود می گیرند. با توجه به عملگر های دیفرانسیلی خاص درگیر، این معادله، یک معادله دیفرانسیل جزئی خطی است و همانطور که از اسمش بر می آید معادله موج است. لفظ “معادله شرودینگر” به هر دو، معادله عمومی (اولین جعبه بالا) یا نوع خاص غیر نسبیتی آن (دومین جعبه بالا) اشاره می کند. معادله عمومی به طور واقعی کاملاً عمومی است، که به وسیله مکانیک کوانتومی و برای همه چیز از معادله دیراک گرفته تا برای نظریه کوانتومی به وسیله تبدیل شدن به عبارات پیچیده مختلف برای هامیلتونی، استفاده می شود. نوع خاص غیر نسبیتی شکل ساده شده نزدیک به واقعیت است که در شرایط بسیاری دقیق است و در موارد اندکی دقیق نیست. (مکانیک کوانتومی را ببینید.) برای به دست آوردن معادله شرودینگر، عملگر هامیلتونی برای سیستم جهت محاسبه انرژی پتانسیل و انرژی جنبشی ذرات تشکیل دهنده سیستم و جایگذاری در معادله شرودینگر تنظیم شده است. معادله دیفرانسیل جزئی بدست آمده برای تابع موج حل می شود که شامل اطلاعاتی درباره سیستم است.

شرودینگر یک بعدی وابسته به زمان

معادله شرودينگر وابسته به زمان عموما در فضای فيزيکی نا متناهی مطرح می شود. در اين فضا ها نمی توانيم از روش های گسسته سازی کلاسيک مانند تفاضلات متناهی، عناصر متناهی، هم محلی و مانند آن ها استفاده نماييم. برای اين منظور ابتدا دامنه فيزيکی را به يک دامنه متناهی ساده مانند مستطيل تبديل می کنيم . سپس معادله شرودينگر يک بعدی وابسته به زمان و با شرط آغازی مختلط را با محمل فشرده در نظر می گيريم. بدون آن که از کليت مسئله کاسته شود، فرض می کنيم محمل آن بازه بسته باشد. در اين حالت مسئله را با شرايط دريکله – نيومن، يا نيومن – دريکله نا همگن، در نظر می گيريم

گسسته سازی معادله شرودينگر با شرايط مصنوعی ، در دو مرحله، با دو شيوه متفاوت و در ارتباط با دو مبحث جدا از يکديگر، انجام می شود. يکی با روش های گسسته سازی استاندارد در معادلات با مشتقات جزئی روی معادله شرودينگر و ديگری، با تکنيک های عددی.