یک تکنیک تبدیل فوریه سریع برای قیمت­گذاری اختیارات معامله‌ی اروپایی با نوسان تصادفی و ریسک جهش

یک تکنیک تبدیل فوریه سریع [[Fast Fourier Transform Technique]]برای قیمت­گذاری اختیارات معامله‌ی اروپایی [[European Options]] با نوسان تصادفی [[Stochastic Volatility]] و ریسک جهش [[Jump Risk]]

ما قیمت‌گذاری اختیارات معامله اروپایی با جهش­های دوگانه [[double jumps]] و نوسان تصادفی را در نظر می‌گیریم. راه­حل‌هایی بسته-شکل [[closed-form]] برای اختیارات خرید اروپایی [[European call options]] در یک مدل جهش-انتشار دونمایی [[double exponential jump-diffusion model]] با نوسان تصادفی (SVDEJD) به دست آورده­ایم. راه­حل­های عددی سریع و دقیق را با استفاده از تکنیک تبدیل فوریه سریع (FFT) توسعه داده­ایم. چگالی [[density]] مدل خود را با چگالی‌های سایر مدل‌ها، از جمله مدل بلک-شولز [[Black-Scholes model]] و مدل جهش-انتشار دونمایی مقایسه نموده‌ایم. در آخر تاثیرات متعددی را روی قیمت­های اختیار معامله تحت مدل پیشنهادی تحلیل کرده­ایم. شبیه‌سازی­ها نشان می­دهد که مدل SVDEJD برای مدل­سازی تغییرات طولانی مدت بازار واقعی [[long-time real-market changes]] مناسب است و بازدهی­های سهام [[stock returns]] به صورت منفی با نوسانات همبستگی دارند. این مدل و روش پیشنهادی قیمت­گذاری اختیار معامله، برای تحلیل تجربی بازدهی­های دارایی­ [[asset returns]] و مدیریت ریسک‌های اعتباری شرکت­­ها [[corporate credit risks]] سودمند است.

توضیح مترجم: در نخستین مرتبه کاربرد هر واژه (عبارت) که [به تشخیص مترجم] لازم بوده، در مقابل آن واژه (عبارت) انگلیسی اصلی درون [[]] نوشته شده است که در صورت نامناسب بودن ترجمه در نظر گرفته شده می­توانید در کل متن ترجمه مورد نظر خود را جایگزین نمایید (Ctrl+H). به علاوه این کمک می­کند تا بدانید واژه­ها و عبارت­های مهم در متن برگردان چه چیزی هستند. همچنین برای برخی از واژه­ها بیش از یک ترجمه نوشته شده که چنین مواردی نیز درون (()) قرار داده شده­اند. در ادامه به این دو علامت توجه داشته باشید.

طبیعی است که اینگونه موارد در ابتدای متن بیشتر هستند و هرچه پیش می­رویم کمتر واژه­ای (عبارتی) یافت می­شود که برای اولین بار مورد استفاده قرار گیرد. از این رو آغاز متن ممکن است کمی به هم ریخته به نظر برسد. سعی کنید بدون در نظر گرفتن آنچه درون [[]]  و (()) آمده، متن را بخوانید.

تعداد کمی واژه (عبارت) –همیشه کمتر از ۳ تا(!) – ممکن است بدون ترجمه نوشته شده باشند که این نیز معمول است.

1. مقدمه

مدل بلک-شولز (BS) کلاسیک [۱] برای مدتی طولانی به این صورت شناخته شده است که به ارزش­گذاری اریب [[biased]] اختیار معامله به صورت روشمند ((سیستماتیک)) منتج می­شود. با اضافه کردن جهش­ها به روند قیمت اولیه [[archetypal price process]] با ابداعات گاوسی، Merton  [۲] قادر است که تا حدی انحرافات [[deviations]] مشاهده شده از مدل معیار [[benchmark model]] که توسط دم سنگین [[fat tail]] و کشیدگی اضافی [[excess kurtosis]] در توزیع بازدهی­ها [[returns distribution]] مشخص شده است [[categorized]]، را توضیح دهد. برای یک مرور کلی از “حقایق تجربی [[stylized facts]]” روی بازده دارایی Cont [3] را ببینید. خواص آماری نوسانات ضمنی [[implied volatilities]] در Cont و همکاران [۴] خلاصه شده است. در نهایت نویسندگان دیگر نیز مدل­های واقعی­تر را توسعه داده­اند، برای مثال، مدل­های جهش خالص [[pure jump]] Eberlein و Keller [5]، Madan و همکاران [۶]، و Duffie و همکاران [۷]، مدل­های نوسان تصادفی از Steven [8]، و مدل نوسان تصادفی با جهش­های نرمال از Bates [9]  و Keppo و همکاران [۱۰]. مدل جهش-انتشار دونمایی (DEJD)، که اخیرا توسط Kou [11] پیشنهاد شده است، یک توزیعِ به میزان بالایی چوله [[highly skewed]] و لپتوکورتیک [[leptokurtic]] تولید می­کند و قابلیت تطبیق [[matching]] ویژگی­های کلیدی سهام و شاخص بازده ((بازدهی­های شاخص)) [[index retruns]] را دارد. به علاوه مدل DEJD به فرمول­های قیمت­گذاری مهارشدنی برای اختیارات معامله نامتعارف و وابسته به مسیر منجر می­شود [۱۲]. بنابراین، مدل DEJD به مقبولیت گسترده­ای دست پیدا کرده است. هرچند مدل DEJD نمی­تواند اثرات خوشه­بندی نوسان[[volatility clustering effects]]  را لحاظ کند، که می­تواند توسط مدل­های نوسان تصادفی لحاظ گردد [۱۳]. مدل­های جهش-انتشار و مدل نوسان تصادفی مکمل یکدیگر هستند: مدل نوسان تصادفی می­تواند ساختارهای وابسته را بهتر ترکیب کند، در حالی که مدل DEJD مهارپذیری تحلیلی [[analytical tractability]] بهتری، به ویژه برای اختیارات معامله وابسته به مسیر دارد. از آنجا که تصادفی بودن نرخ­های بهره [[interest rates]] عملکرد قیمت­گذاری را بیش از این بهبود نمی­بخشد [۱۴]، مدلی که نوسان تصادفی و جهش-انتشار دو نمایی را ترکیب می­کند (SVDEJD) ممکن است منطقی­تر باشد. در محیط BS، اندازه­ی احتمال فرم تحلیلی شناخته­ شده­ای دارد، اما تحت نوسان تصادفی، تنها به روش عددی می­تواند به دست آید. شبیه­سازی مونت کارلو و روش تفاضل محدود [[finite defference method]] معمولا برای ارزش­گذاری اختیارات معامله مورد استفاده قرار می­گیرد. اما این دو تکنیک در واقع نیاز به زمان محاسبه‌‍­ی بیشتری دارند و از این رو به کار بردن آنها در قیمت­گذاری اختیار معامله­ی واقعی دشوار است. اخیرا، تبدیل فوریه که سریع و دقیق بوده و پیاده­سازی آن آسان می­باشد، به طور گسترده در ارزش­گذاری مشتقات مالی [[financial derivatives]] مورد استفاده قرار گرفته است، برای مثال، Carr و Madan [16] تبدیل فوریه را با در نظر گفتن قیمت log-strike پیشنهاد کردند؛ Duffie و همکاران [۷] یک بررسی جامع ارائه دادند که روش­های فوریه برای طیف وسیعی از فرآیندهای تصادفی قابل کاربرد هستند؛ Carr و Wu [17] این تبدیل را برای فرآیندهای زمان-تغییریافته­ی [[time-changed]] Levy و کلاس مدل­های آفین تعمیم یافته [[generalized affine models]] به کار بردند. Hurd و Zhou [18] بازدهی گسترش اختیار معامله [[spread option payoff]] را بر حسب تابع گاما و تکنیک FFT بیان کردند. برای یک مرور کلی از قیمت­گذاری اختیار معامله با استفاده از تبدیلات فوریه، Schmelzle [19] را ببینید.

مقاله حاضر مطالعه قیمت­ گذاری اختیار معامله تحت مدل DEJD را به سه روش گسترش می­دهد. نخست، یک مدل پیشنهاد می­کنیم که جهش­های دوگانه و نوسان تصادفی را ترکیب می­کند. دوم، با استفاده از روش افسار [[martingale method]]، فرمول تبدیل فوریه، و قضیه Feynman-Kac، یک راه حل بسته-شکل برای قیمت­گذاری اختیارات خرید اروپایی [[European call options]] تحت مدل پیشنهادی به دست می­آوریم. سوم، به راه­ حل­های عددی سریع و دقیق برای قیمت­گذاری اختیارات خرید اروپایی توسط تکنیک FFT دست می­یابیم.

بقیه مقاله به صورت زیر سازماندهی شده است. بخش دو مدل قیمت­گذاری اساسی [[underlying pricing model]] را توسعه می­دهد. بخش ۳ یک راه حل بسته-شکل برای قیمت­گذاری اختیارات خرید اروپایی تحت مدل پیشنهادی به دست می­آورد. بخش ۴ راه­حل­های تخمینی برای قیمت­گذاری اختیارات خرید اروپایی توسط تکنیک FFT ارائه می­کند. بخش ۵ به صورت عددی چگالی این راه­حل­ها را با مدل­های جایگزین مقایسه نموده و تاثیرات متعددی را روی قیمت­های اختیار خرید تحلیل می­کند. بخش ۶ نتیجه­گیری می­کند. کدهای برنامه­ی به کار رفته در Matlab در ضمیمه ارائ شده است.

Abstract

We consider European options pricing with double jumps and stochastic volatility. We derived closed-form solutions for European call options in a double exponential jump-diffusion model with stochastic volatility (SVDEJD). We developed fast and accurate numerical solutions by using fast Fourier transform (FFT) technique. We compared the density of our model with those of other models, including the Black-Scholes model and the double exponential jump-diffusion model. At last, we analyzed several effects on option prices under the proposed model. Simulations show that the SVDEJD model is suitable for modelling the long-time real-market changes and stock returns are negatively correlated with volatility. The model and the proposed option pricing method are useful for empirical analysis of asset returns and managing the corporate credit risks.

لینک مقاله اصلی لاتین:

https://lib.dr.iastate.edu/cgi/viewcontent.cgi?referer=&httpsredir=1&article=1045&context=econ_las_pubs