مقدمه ای بر بهینه سازی
آرزوی انسان برای رسیدن به كمال مبین تئوری بهینه سازی است. انسان می خواهد بهترین را تجسم و توصیف كرده و به آن دست یابد. اما از آنجایی كه می داند نمی تواند تمام شرایط حاكم بر بهترین را به خوبی شناسایی و تعریف نماید در بیشتر موارد به جای جواب بهترین یا بهینه مطلق، به یك جواب رضایت بخش بسنده میکند . همچنین انسان در قضاوت عملكرد دیگران، معیار بهترین را در نظر نمی گیرد بلكه آنان را به صورت نسبی مورد ارزیابی قرار می دهد ؛ بنابراین انسان به دلیل ناتوانی خود در بهینه سازی، به بهبود ارزش ویژه ای می دهد.
بهينه سازي يافتن «بهترين» جواب در خروجي از يك تابع يا فرآيند ، بوسيله تغيير ورودي هاي يك سيستم مي باشد.
مدلهای ریاضی که به حداکثریا به حداقل(می نیمم سازی یا ماکزیمم سازی) رساندن یک تابع چند متغیره را شامل میگردند به نام مدلهای بهینه خوانده می شوند .نوع خاصی از این مدلها که دارای روابط خطی بوده و همزمان باید محدودیتهایی از متغیرها (به صورت معادلات و نامعادلات ) را در آنها منظور کرد مورد بحث های بهینه در این پروژه خواهند بود .
برای اولین مرتبه وجود مدلهای بهینه در هندسه و علوم فیزیکی موجب توسعه استفاده از تکنیکهای حساب انتگرال دیفرانسیل گردید . بعدها استفاده از حساب انتگرال دیفرانسیل در علوم و مدیریت بازرگانی بخصوص در حل مسایل تولید و مصرف مورد توجه شایان قرار گرفت.در دوره معاصر دسته عمده ای از مدلهای بهینه به نام مدلهای برنامه ریزی مورد توجه قرار گرفته است و کاربرد آنها در حل مسایل مختلف مانند مسایل نظامی ،سیاسی،صنعت ،مدیریت ، مسایل اقتصاد و… بسیار با اهمیت
می باشد.
درمجموع ، مدلهای برنامه ریزی شامل واگذاری مناسب ترین ترکیب از منابع محدود در رسیدن به هدف یا هدفهایی تصمیم می باشد . بدین قرار که هر تصمیم گیرنده منابعی از قبیل پول ، نیروی انسانی،مواد خام اولیه و ماشین آلات در اختیار دارد که همگی از نظر کمیت یا کیفیت و یا هر دو محدود می باشند . واگذاری ترکیب خاصی از این منابع محدود در رسیدن به هدف مشخصی در یک تصمیم ،مدل برنامه ریزی را تشکیل میدهد .
مدلهای برنامه ریزی ، از نظر ریاضی ،خود به چند دسته به قرار زیر تقسیم می گردند :
- برنامه ریزی خطی (Linear programming)
- برنامه ریزی با اعداد صحیح (Integer programming)
- برنامه ریزی با متغیرهای از درجه یک به بالا (Programming of Nonlinear-variables)
- برنامه ریزی دینامیک (Dynamic programming)
- برنامه ریزی پارامتریک (Parametric programming)
در این پروژه منحصراً به بحث در مورد برنامه ریزی خطی پرداخته و به وسیله ی نرم افزار مطلب به حل مسایل آن می پردازیم .
تاریخچه:
برنامه ریزی خطی یکی از جدیدترین و قوی ترین تکنیک هایی است که در ربع قرن اخیر به ثمر رسیده است.استفاده از این تکنیک از جنگ بین الملل دوم آغاز شده و تاکنون با توجه به تسهیلات کامپیتری به پیشرفتهای چشمگیری دست یافته است .کوششهای پژوهشگرانی از قبیل ریاضیدانان ،آمارشناسان ،اقتصاددانان،بازرگانان و مدیران موجب گسترش روز افزون کاربرد این تکنیک گردیده و پژوهش حد مطلوب را در مدلهای بهینه به ثمر رساند .
شروع برنامه ریزی خطی در سال ١٩٤١ با تحقیقات اقتصاد دان معروف لئوفتیفت همراه میباشد.همزمان با وی اقتصاد دان دیگری بنام هیچکاک مدل حمل ونقل را به طریق برنامه ریزی خطی تفسیر نمود و همین تفسیر در سال ١٩٤٧توسط کوپ منز انجام گرفت در سال ١٩٤٥ نیز مساله ی وایت شامل ترکیبات مختلف از مواد برای حصول به نتیجه ی خاصی میباشد توسط استیکلر بررسی گردید.دانتزیک به اتفاق همکارانش از جمله مارشال وود در سال ١٩٤٧در یکی از پروژه های نیروی هوایی آمریکا از برنامه ریزی خطی استفاده نمود و برای حل مساله مورد نظر روش سیستماتیک بنام ﴿سیمپلکس﴾ را به وجود آوردند.از آن زمان به بعد افراد زیادی به روشهای بسیار متعددی از جمله بسط و توسعه نظری ،دیدگاه محاسباتی و به کارگیری کاربردهای جدید آن در این حوزه وارد شده اند. روش سیمپلکس به دلایل زیر کاربردهای وسیعی در برنامه ریزی خطی دارد:
- توانایی مدل بندی مسایل مهم و پیچیده ی مدیریتی .
- توانمندی حل مسایل در مدت زمان معقول در برنامه ریزی خطی .
توسعه ی برنامه ریزی خطی در زمره ی مهمترین پیشرفتهای علمی اواسط قرن بیستم به حساب میاید و باید قبول کرد که این ارزیابی بی مورد نیست زیرا تاثیر آن در زمینه های مختلف از سال ١٩٥٠ میلادی تا امروز فوق العاده بارز بوده است برنامه ریزی خطی اکنون باعث صرفه جویی هزارها میلیون برای واحدهای صنعتی و بازرگانی میشود.
تعریف :
در تعریف برنامه ریزی خطی مناسب است که تجزیه وتحلیل کلمات تشکیل دهنده آن را مورد توجه قرار دهیم . کلمه ی خطی در اینجا به این معنی است که روابط بین متغیرها در این مدل خاص برنامه ریزی خطی می باید کاملاً متناسب و مستقیم باشند.«در معادله y=ax رابطۀ xوy کاملاً متناسب است . اما باید توجه داشت که در معادلۀ y=ax+b رابطۀ x وy کاملاً متناسب و مستقیم نیست .به همین دلیل کل هزینۀ تولید یک کالا (متشکل از هزینۀ ثابت وهزینۀ متغیر)ارتباط مستقیم با مقدار تولید نداشته و بهتر است در برنامه ریزی خطی به کار نرود »،به طور مثال چنانچه قیمت واحد کالا با تغییر مقدار فروش تغییر نکند ، رابطۀ بین در آمد کل حاصل از فروش و مقدار تقاضا خطی خواهد بود .یا اینکه مثلاً اگر قیمت پرداختی برای خرید یک کیلو میوه در صورت خرید یک کیلو و یا هر چند کیلو از آن ثابت باشد، یک رابطۀ خطی برقرار است . همچنین به عبارت ریاضی ، در روابط خطی با متغییرهای از نوع درجه یک روبرو خواهیم بود. در حالی که متغییرها با سایر درجات ، روابط غیر خطی را در بر
می گیرند .
کلمه برنامه ریزی در عبارت فوق به مفهوم تعیین ارزش مجهولات (متغییرها ) با توجه به منابع موجود برای مسأ له می باشد . به عبارت دیگر ، برنامه ریزی شامل پژوهش ریاضی در رسیدن به مناسب ترین راه حل مسأ له میگردد. با توجه به تجزیه و تحلیل فوق ،می توان گفت که برنامه ریزی خطی عبارت است از یک تکنیک ریاضی جهت تخصیص منابع محدود موجود به بهترین صورت ممکن می باشد ، به شرطی که روابط فی ما بین عوامل خطی و مستقیم باشند . برنامه ریزی خطی به بیان ساده تر روشی است برای پیدا کردن max , min یک تابع همراه با تعدادی شرایط که به آن محدودیت های مسأله گوییم را برنامه ریزی خطی می نامیم. برنامه ریزی خطی دارای ویژگیهایی است که رعایت آنها ضروری به نظر میرسد .
- مشخص بودن تابع هدف به صورت خطی .برنامه ریزی برای اجرا و رسیدن به هدفی می باشد که باید با توجه به امکانات و محدودیتها به صورت یک تابع ریاضی خطی بیان شود . این تابع شامل هدف تصمیم و متغیرهای تصمیم میگردد . هدف تصمیم در برنامه ریزی ممکن است ماگزیمم کردن بهره وری کالا از تولید یا مینیمم کردن از هزینه تولید یا مصرف با توجه به منابع موجود و یا همچنین تعیین مناسب ترین نحوۀ توزیع کالا و یا عواملی باشد .
- موجود بودن راه حلهای مختلف در برنامه ریزی خطی .
- مشخص بودن محدودیتهای منابع به صورت معادلات یا نامعادلات . در برنامه ریزی خطی بعد از مشخص کردن تابع هدف ،کلیه محدودیتهای استفاده از منابع باید به صورت نامعادلات و یا معدلات خطی (از فرم درجه یک)معلوم گردند .این محدودیتها ترکیبات مختلف منابع را در رسیدن به حد مطلوب هدف تصمیم مشخص مینمایند.
- موجود بودن روابط ریاضی فی ما بین متغیرها .در تشکیل تابع هدف و نامعادلات دریک مسأله باید بتوان روابط بین متغیرها را به صورت ریاضی بیان کرد . به عبارت دیگر متغیرها باید با یکدیگر ارتباط داشته باشند . فرض اساسی در ارتباط متغیرها آنست که این روابط معلوم بوده و برای دورۀ برنامه ریزی ثابت هستند این فرض در برنامه ریزی خطی به نام «فرض ثابت» مشهور است .
- غیر منفی بودن متغیرها . در هر برنامه ریزی خطی کلیۀ متغیرها باید مثبت یا حداقل برابر صفر باشند(x≥۰) . بدین معنی که متغیری با ارزش منفی در این تکنیک وجود ندارد .
برای دریافت مشاوره در کلیه زمینه های بهینه سازی با ما در ارتباط باشید: admin @ matlab360.ir
لطفاً براي ارسال دیدگاه، ابتدا وارد حساب كاربري خود بشويد